基本公式

体积	表面积
柱体	$V=\phantom{0}$$\phantom{0}Sh$	$S=\phantom{0}$$\phantom{0}2\pi r(r+\phantom{0}$$\phantom{0}l)$
锥体	$V=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$	$S=\phantom{0}$$\phantom{0}\pi r(r+\phantom{0}$$\phantom{0}l)$
台体	$V=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{1}{3}}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})h$	$S=\phantom{0}$$\phantom{0}\pi [r^2+\phantom{0}$$\phantom{0}{R}^2+\phantom{0}$$\phantom{0}l(r+\phantom{0}$$\phantom{0}R)]$

法向量

交点倒数法

平面过 $(a,\phantom{0}$$\phantom{0}0,\phantom{0}$$\phantom{0}0),\phantom{0}$$\phantom{0}(0,\phantom{0}$$\phantom{0}b,\phantom{0}$$\phantom{0}0),\phantom{0}$$\phantom{0}(0,\phantom{0}$$\phantom{0}0,\phantom{0}$$\phantom{0}c)$，则法向量为 $({\displaystyle \frac{1}{a}},{\displaystyle \frac{1}{b}},{\displaystyle \frac{1}{c}})$。

平面平行于 $x$ 轴，且过 $(0,\phantom{0}$$\phantom{0}b,\phantom{0}$$\phantom{0}0),\phantom{0}$$\phantom{0}(0,\phantom{0}$$\phantom{0}0,\phantom{0}$$\phantom{0}c)$，则法向量为 $(0,{\displaystyle \frac{1}{b}},{\displaystyle \frac{1}{c}})$。

TIP

坐标系可应用平移变换。

捺撇法

$\overrightarrow{PA}=\phantom{0}$$\phantom{0}(x_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{z}_1),\phantom{0}$$\phantom{0}\overrightarrow{PB}=\phantom{0}$$\phantom{0}(x_2,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}{z}_2)$，平面 $PAB$ 法向量表示为：

$$(y_1{z}_2-z_1{y}_2,z_1{x}_2-x_1{z}_2,x_1{y}_2-y_1{x}_2)$$

@neato;
node [@plain]
edge [dir=none]
x11[@n="$x_1$", @(0,0.5)]; y11[@n="$y_1$", @(0.5,0.5)]; z11[@n="$z_1$", @(1,0.5)];
x12[@n="$x_2$", @(0,0)]; y12[@n="$y_2$", @(0.5,0)]; z12[@n="$z_2$", @(1,0)];
x21[@n="$x_1$", @(1.5,0.5)]; y21[@n="$y_1$", @(2,0.5)]; z21[@n="$z_1$", @(2.5,0.5)];
x22[@n="$x_2$", @(1.5,0)]; y22[@n="$y_2$", @(2,0)]; z22[@n="$z_2$", @(2.5,0)];
y11 -> z12 -> x21 -> y22
y12 -> z11 -> x22 -> y21

TIP

1. 向量并排写两遍
2. 掐头去尾取中间
3. 交叉相乘再相减

三垂线定理

设 $m\in \alpha$，$n$ 在 $\alpha$ 上的投影为 $n^{\prime }$

$$m\mathrm{\perp }{n}^{\prime }\Rightarrow m\mathrm{\perp }n$$

TIP

垂影必垂斜，垂斜必垂影。

三余弦定理

$OH$ 是 $OA$ 在平面 $BOC$ 上的投影。

$$\cos \mathrm{\angle }AOC=\cos \mathrm{\angle }AOB\cdot \cos \mathrm{\angle }BOC$$

三正弦定理

$\alpha$ 是二面角。

$$\sin \beta ={\displaystyle \frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }}$$

四面体体积公式

$$V={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABD}\cdot S_{\mathrm{\Delta }ABC}\cdot \sin \theta }{AB}}$$

证

$$V={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABC}\cdot DO}{3}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABC}\cdot DE\sin \theta }{3}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABC}\cdot DE\cdot AB\sin \theta }{3AB}}={\displaystyle \frac{2S_{\mathrm{\Delta }ABC}{S}_{\mathrm{\Delta }ABD}\sin \theta }{3AB}}$$

空间正弦定理

$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{a{S}_A}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b{S}_B}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c{S}_C}{\sin C}}\end{array}$$

$S_A=\phantom{0}$$\phantom{0}{S}_{\mathrm{\Delta }DBC},\phantom{0}$$\phantom{0}A$ 为二面角 $C-\phantom{0}$$\phantom{0}DA-\phantom{0}$$\phantom{0}B$，以此类推。

证明

由 四面体体积公式 得

$$V={\displaystyle \frac{2S_A{S}_B\sin C}{3c}}={\displaystyle \frac{2S_B{S}_C\sin A}{3a}}={\displaystyle \frac{2S_A{S}_C\sin B}{3b}}$$

上下分别同乘 $S_C,\phantom{0}$$\phantom{0}{S}_A,\phantom{0}$$\phantom{0}{S}_B$

$${\displaystyle \frac{2S_A{S}_B{S}_C\sin C}{3c{S}_C}}={\displaystyle \frac{2S_A{S}_B{S}_C\sin A}{3a{S}_A}}={\displaystyle \frac{2S_A{S}_B{S}_C\sin B}{3b{S}_B}}$$

约去 ${\displaystyle \frac{2S_A{S}_B{S}_C}{3}}$

$${\displaystyle \frac{\sin C}{c{S}_C}}={\displaystyle \frac{\sin A}{a{S}_A}}={\displaystyle \frac{\sin B}{b{S}_B}}$$

取倒数

$${\displaystyle \frac{a{S}_A}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b{S}_B}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c{S}_C}{\sin C}}$$

祖暅原理

QUOTE

幂势既同，则积不容异。

两几何体在任意高处的截面都相等，则其体积也相等。

$$\mathrm{\forall }h,S_1(h)=S_2(h)\Rightarrow V_1=V_2$$

可以用微积分直观理解。

$$V=\int S(h)\mathrm{d}h$$