概率的公理

概率 $P:\mathcal{F}\mapsto [0,1]$

从事件集 $\mathcal{F}$ 到实数区间 $[0,1]$ 的映射。

公理 1（非负有界性）

$0\le P(A)\le 1$。

公理 2（规范性）

$P(\mathrm{\Omega })=1$。

公理 3（可列可加性）

对于可列无穷多、互不相容的随机事件 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots \}$ 有$$P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_i)$$

概率的性质

性质 1（零测性）

$P(\varnothing )=0$。

性质 2（有限可加性）

对于一组互不相容的 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}$ 有

$$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$

性质 3（补集公式）

$P(A)=1-P(\bar{A})$。

性质 4（减法公式）

$P(A-B)=P(A)-P(AB)$。

推论 1

若 $B\subset A$ 则 $P(A-B)=P(A)-P(B)$。

推论 2

若 $B\subset A$ 则 $P(A)\ge P(B)$。

性质 5（加法公式）

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$。

推论（容斥原理）

对于任意一组事件 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}$，

$$\begin{array}{rl}P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=& \sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{i<j}P(A_i{A}_j)+\sum _{i<j<k}P(A_i{A}_j{A}_k)+\cdots \\ & +(-1{)}^{n-1}P(A_1{A}_2\cdots A_n)\end{array}$$

性质 1：证

构造 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots \}$，其中 $\mathrm{\forall }i,A_i=\varnothing$。

根据公理 3（可列可加性）：

$$\begin{array}{rl}P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_i)\\ \therefore P(\varnothing )& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(\varnothing )\end{array}$$$$\therefore P(\varnothing )=0$$

性质 2：证

构造 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots \}$，其中 $\mathrm{\forall }i>n,A_i=\varnothing$，且 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}$ 互不相容。

根据公理 3（可列可加性）和性质 1（零测性）：

$$\begin{array}{rl}P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_i)\\ \therefore P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)& =\sum _{i=1}^{n}P(A_i)+\sum _{i=n+1}^{\mathrm{\infty }}P(\varnothing )\\ \therefore P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)& =\sum _{i=1}^{n}P(A_i)\end{array}$$

性质 3：证

由于 $A,\bar{A}$ 不相容，根据性质 2（有限可加性）和公理 2（规范性）：

$$P(A)+P(\bar{A})=P(A\cup \bar{A})=P(\mathrm{\Omega })=1$$$$\therefore P(A)=1-P(\bar{A})$$

性质 4：证

由于 $A-B,AB$ 不相容，根据性质 2（有限可加性）：

$$P(A-B)+P(AB)=P((A-B)\cup AB)=P(A)$$$$\therefore P(A-B)=P(A)-P(AB)$$

性质 5：证

根据性质 4（减法公式）：

$$P(A)+P(B)-P(AB)=P(A-B)+P(B)$$

由于 $A-B,B$ 不相容，根据性质 2（有限可加性）：

$$P(A-B)+P(B)=P((A-B)\cup B)=P(A\cup B)$$$$\therefore P(A)+P(B)-P(AB)=P(A\cup B)$$