基本思想

当积分区间 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 的长度较大时：

• 若直接使用牛顿-柯特斯公式，会导致余项过大；
• 若增加求积节点，容易导致牛顿-柯特斯公式不稳定。

复合求积方法将 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 均等地分成若干子区间，各自应用低阶牛顿-柯特斯公式，最后将各子区间的积分近似值相加。

复合梯形公式

将区间 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 划分为 $n$ 等份，步长 $h=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{b-a}{n}}$，节点 $x_k=\phantom{0}$$\phantom{0}a+\phantom{0}$$\phantom{0}kh$。在每个子区间 $[x_k,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_{k+1}]$ 上使用梯形公式

$${\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx\approx \frac{h}{2}[f(x_k)+f(x_{k+1})]$$

得到复合梯形公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx T_n=\frac{h}{2}[f(a)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]$$

余项

若 $f^{″}(x)$ 在 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 上连续，则余项为为每个区间的梯形公式余项之和。

$$R(T_n)=-\frac{b-a}{12}{h}^2{f}^{″}(\eta ),\eta \in (a,b)$$

复合辛普森公式

将区间 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 划分为 $n$ 等份，步长 $h=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{b-a}{n}}$，节点 $x_k=\phantom{0}$$\phantom{0}a+\phantom{0}$$\phantom{0}kh$。在每个子区间 $[x_k,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_{k+1}]$ 上使用辛普森公式

$${\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx\approx \frac{h}{6}[f(x_k)+4f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]$$

得到复合辛普森公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx S_n=\frac{h}{6}[f(a)+4\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]$$

余项

若 $f^{(4)}(x)$ 在 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 上连续，则余项为每个区间的辛普森公式余项之和。

$$R(S_n)=-\frac{b-a}{180}{\left(\frac{h}{2}\right)}^4{f}^{(4)}(\eta ),\eta \in (a,b)$$