离散型随机变量及其分布

离散型随机变量

离散型随机变量 $X$

有有限个或可列个取值的随机变量。

分布律（分布列）

P (X = x_{k}) = p_{k} (k = 1, 2, \dots)

也可用表格呈现。

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{k}$	$\dots$
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\dots$	$p_{k}$	$\dots$

0-1 分布（伯努利分布，两点分布）: 随机变量 $X$ 只可能取 $0$ 和 $1$ 两个值时的概率分布，即 $P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 - p (0 < p < 1)$

二项分布 $X \sim B (n, p)$

在 N 重伯努利概型试验中，设 $P (A) = p$ ，事件 $A$ 发生次数 $X$ 的概率分布。

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} (k = 0, 1, 2, \dots, n; 0 < p < 1)

推论: 若 $X \sim B (n, p)$ ，当 $k = k_{0}$ 时， $P (X = k)$ 达到最大，其中 $k_{0} = {\begin{cases} (n + 1) p 或 (n + 1) p - 1 & (n + 1) p \in N \\ (n + 1) p & (n + 1) p \notin N \end{cases}$

泊松分布 $X \sim P (λ)$: 二项分布的一种近似。 $P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!} (k = 0, 1, 2, \dots)$
泊松定理: 二项分布 $B (n, p)$ 在 $n \to \infty$ 的极限是泊松分布 $P (n \cdot p)$ ，即 $lim_{n \to \infty} [(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}] = e^{- n \cdot p} \frac{(n \cdot p)^{k}}{k!} (k = 0, 1, 2, \dots; 0 < p < 1)$

INFO

当 $n \geq 10$ 且 $p \leq 0.1$ 时，泊松分布和二项分布几乎相同。

几何分布 $X \sim G (p)$: 在无穷多重伯努利概型试验中，设 $P (A) = p$ ，事件 $A$ 第一次发生于所需要的试验次数 $X$ 的概率分布。 $P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p (k = 1, 2, \dots)$

超几何分布 $X \sim H (N, M, n)$: $N$ 个元素中，有 $M$ 个属于第一类。现从中不重复抽取 $n$ 个元素，其中第一类元素的数量 $X$ 的概率分布。
$P (X = k) = \frac{(\binom{M}{k}) (\binom{N - M}{n - k})}{(\binom{N}{n})} (k = max {0, n - (N - M)}, \dots, min {n, M})$