二维随机变量

二维随机变量（二维随机向量）$(X,Y)$

两个随机变量 $X,Y$ 的组合。

联合分布函数

联合分布函数（分布函数） $F(x,y)$

$X\le x\wedge Y\le y$ 的概率，即 $F:{\mathbb{R}}^2\mapsto {\mathbb{R}}^2$，$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$。

性质 1

$F(x,y)$ 分别是关于 $x,y$ 的单调不减函数。

性质 2

$F(x,y)$ 非负有界，即

• $F(x,-\mathrm{\infty })=\underset{y\to -\mathrm{\infty }}{lim}F(x,y)=0$；
• $F(-\mathrm{\infty },y)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}F(x,y)=0$；
• $F(-\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty })=0$；
• $F(+\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })=1$。

性质 3

$F(x,y)$ 分别是关于 $x,y$ 的右连续函数，即 $F(x^{+},y)=F(x,y^{+})=F(x,y)$。

性质 4

对任意 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，若 $x_1<x_2,y_1<y_2$，则$$0\le F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\le 1$$

INFO

• $F_X(x)=P(X\le x)=F(x,+\mathrm{\infty })$

• $F_Y(y)=P(Y\le y)=F(+\mathrm{\infty },y)$

• $P(x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)$

  参考基础 DP：二维前缀和：查询。

边缘分布函数

边缘分布函数

用联合分布函数表示单个随机变量的分布函数，即$$F_X(x)=P(X\le x)=F(x,+\mathrm{\infty })$$$$F_Y(y)=P(Y\le y)=F(+\mathrm{\infty },y)$$

随机变量的独立性

随机变量 $X,Y$ 相互独立，当且仅当：任取 $x,y\in \mathbb{R}$，事件 $\{X\le x\}$ 和 $\{Y\le y\}$ 都相互独立，即

$$P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x)P(Y\le y)$$$$\iff F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$

随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，当且仅当：任取 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in \mathbb{R}$，事件 $\{X_1\le x_1\}$，$\{X_2\le x_2\}$，$\cdots$，$\{X_n\le x_n\}$ 都相互独立。