误差的分类

模型误差

「数学模型输出」与「问题的真实解」的差值。

观测误差

「测量值」与「真实值」的差值。

方法误差

「真实值」与「计算值」的差值。

截断误差

用「有限项」近似替代「无限项」产生的误差。

EXAMPLE

可微函数 $f(x)$ 用 $n$ 阶泰勒多项式 $P_n(x)$ 近似替代：

$$P_n(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

则截断误差为 $f(x)-\phantom{0}$$\phantom{0}{P}_n(x)$。

舍入误差

有限精度表示引起的误差。

EXAMPLE

用 $3.14159$ 近似代替 $\pi$，产生的舍入误差为 $\pi -\phantom{0}$$\phantom{0}3.14159$。

数值分析误差

准确值 $x$

问题的真实解或极限解，即「真实值」。

近似值 $x^{\ast }$

由数值计算得到的结果，即「计算值」。

绝对误差（误差）$e^{\ast },\phantom{0}$$\phantom{0}e(x^{\ast })$

近似值减准确值。

$$e^{\ast }=x^{\ast }-x$$

误差限 ${\epsilon }^{\ast },\phantom{0}$$\phantom{0}\epsilon (x^{\ast })$

绝对误差的绝对值的上界。

$$|e^{\ast }|\le {\epsilon }^{\ast }$$

INFO

由误差限和绝对误差的定义有 $|x^{\ast }-\phantom{0}$$\phantom{0}x|\le {\epsilon }^{\ast }$，即

$$x^{\ast }-{\epsilon }^{\ast }\le x\le x^{\ast }+{\epsilon }^{\ast }$$

以上不等式记作 $x=\phantom{0}$$\phantom{0}{x}^{\ast }\pm {\epsilon }^{\ast }$。

相对误差 $e_r^{\ast },\phantom{0}$$\phantom{0}{e}_r(x^{\ast })$

绝对误差与准确值的比值。

$$e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x}=\frac{x^{\ast }-x}{x}$$

相对误差限 ${\epsilon }_r^{\ast },\phantom{0}$$\phantom{0}{\epsilon }_r(x^{\ast })$

相对误差的绝对值的上界。

$$|e_r^{\ast }|\le {\epsilon }_r^{\ast }$$

INFO

当相对误差 $e_r^{\ast }$ 很小时，有

$$e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x}\approx \frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}$$$${\epsilon }_r^{\ast }\approx \frac{{\epsilon }^{\ast }}{|x^{\ast }|}$$

通常可以直接取等。

有效数字

若近似值 $x^{\ast }$ 的误差限 ${\epsilon }^{\ast }$ 可取某一位的半个单位，且该位到 $x^{\ast }$ 的第一位非零数字共有 $n$ 位，则 $x^{\ast }$ 有 $n$ 位有效数字。

具有 $n$ 位有效数字的近似值 $x^{\ast }$ 可表示为

$$x^{\ast }=\pm {10}^m(a_1+a_2\cdot {10}^{-1}+\cdots +a_n\cdot {10}^{-(n-1)})$$

其中 $a_i\in \{0,1,\cdots ,9\}$，$a_1\ne \phantom{0}$$\phantom{0}0$，$m\in \mathbb{Z}$，且

$$|x^{\ast }-x|\le {\epsilon }^{\ast }=\frac{1}{2}\times {10}^m\times {10}^{-(n-1)}$$

有效数字 ⇒ 相对误差限

已知近似值 $x^{\ast }$ 是 $n$ 位有效数字，则其相对误差限可取

$${\epsilon }_r^{\ast }=\left|\frac{{\epsilon }^{\ast }}{x^{\ast }}\right|=\frac{\frac{1}{2}\times {10}^m\times {10}^{-(n-1)}}{{10}^m(a_1+a_2\cdot {10}^{-1}+\cdots +a_n\cdot {10}^{-(n-1)})}\le \frac{1}{2a_1}\times {10}^{-(n-1)}$$

相对误差限 ⇒ 有效数字

已知近似值 $x^{\ast }$ 的相对误差限可取

$${\epsilon }_r^{\ast }=\frac{1}{2(a_1+1)}\times {10}^{-(n-1)}$$

则 $x^{\ast }$ 的误差限可取

$$\begin{array}{rl}{\epsilon }^{\ast }={\epsilon }_r^{\ast }\cdot |x^{\ast }|& =\frac{1}{2(a_1+1)}\times {10}^{-(n-1)}\times {10}^m\times \overline{a_1.a_2{a}_3\cdots }\\ & \le \frac{1}{2(a_1+1)}\times {10}^{-(n-1)}\times {10}^m\times (a_1+1)\\ & =\frac{1}{2}\times {10}^m\times {10}^{-(n-1)}\end{array}$$

即 $x^{\ast }$ 至少有 $n$ 位有效数字。

EXAMPLE

为使 ${\pi }^{\ast }$ 的相对误差小于 $0.001\mathrm{\%}$，则至少应取几位有效数字？

---

设 ${\pi }^{\ast }$ 是 $n$ 位有效数字，则其相对误差限可取

$${\epsilon }_r^{\ast }=\frac{1}{2\times 3}\times {10}^{-(n-1)}<0.001\mathrm{\%}$$

解得 $n>6-\phantom{0}$$\phantom{0}\lg 6$，即 $n$ 最小为 $6$，此时 ${\pi }^{\ast }=\phantom{0}$$\phantom{0}3.14159$。

数值运算误差

一元函数误差

设 $f(x)$ 是一元可微函数，$x$ 的近似值为 $x^{\ast }$。对 $f(x)$ 在 $x^{\ast }$ 处应用一阶泰勒展开：

$$f(x)=f(x^{\ast })+f^{\prime }(x^{\ast })(x-x^{\ast })+\frac{f^{″}(\xi )}{2}(x-x^{\ast }{)}^2$$

其中 $\xi$ 介于 $x$ 和 $x^{\ast }$ 之间。

对 $f(x^{\ast })$ 的绝对误差取绝对值：

$$\begin{array}{rl}|f(x^{\ast })-f(x)|& =|f^{\prime }(x^{\ast })(x-x^{\ast })+\frac{f^{″}(\xi )}{2}(x-x^{\ast }{)}^2|\\ & \le |f^{\prime }(x^{\ast })|\cdot \epsilon (x^{\ast })+\left|\frac{f^{″}(\xi )}{2}\right|\cdot {[\epsilon (x^{\ast })]}^2\\ & \approx |f^{\prime }(x^{\ast })|\cdot \epsilon (x^{\ast })\end{array}$$

故 $f(x^{\ast })$ 的误差限可取

$$\epsilon [f(x^{\ast })]\approx |f^{\prime }(x^{\ast })|\cdot \epsilon (x^{\ast })$$

多元函数误差

设 $A=\phantom{0}$$\phantom{0}f(x_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_n)$ 为 $n$ 元函数，$x_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_n$ 的近似值分别为 $x_1^{\ast },\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2^{\ast },\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_n^{\ast }$，则 $A$ 的绝对误差为

$$\begin{array}{rl}e(A^{\ast })& =f(x_1^{\ast },x_2^{\ast },\cdots ,x_n^{\ast })-f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\\ & \approx \sum _{k=1}^n\left[{\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\right)}^{\ast }\right](x_k^{\ast }-x_k)\end{array}$$

故 $A$ 的误差限为

$$\epsilon (A^{\ast })\approx \sum _{k=1}^n\left|{\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\right)}^{\ast }\right|\cdot \epsilon (x_k^{\ast })$$

推论

$$\begin{array}{rl}& \epsilon (x_1^{\ast }\pm x_2^{\ast })\le \epsilon (x_1^{\ast })+\epsilon (x_2^{\ast })\\ & \epsilon (x_1^{\ast }\cdot x_2^{\ast })\le |x_1^{\ast }|\cdot \epsilon (x_2^{\ast })+|x_2^{\ast }|\cdot \epsilon (x_1^{\ast })\\ & \epsilon (x_1^{\ast }/x_2^{\ast })\le \frac{|x_1^{\ast }|\cdot \epsilon (x_2^{\ast })+|x_2^{\ast }|\cdot \epsilon (x_1^{\ast })}{|x_2^{\ast }{|}^2}\end{array}$$

EXAMPLE

某矩形长度的测量值为 $l^{\ast }=\phantom{0}$$\phantom{0}110\text{ m}$，宽度的测量值为 $d^{\ast }=\phantom{0}$$\phantom{0}80\text{ m}$，已知 $\epsilon (l^{\ast })=\phantom{0}$$\phantom{0}0.2\text{ m}$，$\epsilon (d^{\ast })=\phantom{0}$$\phantom{0}0.1\text{ m}$，求面积 $S=\phantom{0}$$\phantom{0}l\cdot d$ 的绝对误差限和相对误差限。

---

$$\begin{array}{c}\epsilon (S)=|l^{\ast }|\cdot \epsilon (d^{\ast })+|d^{\ast }|\cdot \epsilon (l^{\ast })=27{\text{ m}}^2\\ {\epsilon }_r(S)=\frac{\epsilon (S)}{|S^{\ast }|}=\frac{\epsilon (S)}{|l^{\ast }\cdot d^{\ast }|}=0.31\mathrm{\%}\end{array}$$