随机变量序列的收敛性

随机变量序列

随机变量序列 ${X_{n}}_{n = 1}^{\infty}, {X_{n}}$: 一列按自然数索引的随机变量。
独立同分布 ${X_{n}} \overset{i . i . d}{\sim} F$: 随机变量序列中的任意有限子集相互独立，且 $\forall i \in N, X_{i} \sim F$ 。

设 ${X_{n}}$ 为随机变量序列， $X$ 为随机变量。若

\forall ε > 0, lim_{n \to \infty} P (| X_{n} - X | < ε) = 1

则称 ${X_{n}}$ 依概率收敛于 $X$ ，记作 $X_{n} \overset{P}{⟶} X$ 。

INFO

设命题 $A_{n} (ω) : | X_{n} (ω) - X (ω) | < ε$ 。

\forall ε > 0, lim_{n \to \infty} \sum_{A_{n} (ω)} P (ω) = 1

\forall ε > 0, lim_{n \to \infty} \int_{{ω ∣ A_{n} (ω)}} d P (ω) = 1

设 ${X_{n}}$ 为随机变量序列， $X$ 为随机变量。若对 $F_{X}$ 的任一连续点 $x$ 都有

lim_{n \to \infty} F_{X_{n}} (x) = F_{X} (x)

则称 ${X_{n}}$ 依分布收敛于 $X$ ，记作 $X_{n} \overset{L}{⟶} X$ 。也称 ${F_{X_{n}} (x)}$ 弱收敛于 $F_{X} (x)$ ，记作 $F_{X_{n}} (x) \overset{W}{⟶} F_{X} (x)$ 。

其中 $F_{X_{n}}$ 是 $X_{n}$ 的分布函数。

设 ${X_{n}}, {Y_{n}}$ 是随机变量序列， $X, Y$ 是随机变量，且 $X_{n} \overset{P}{⟶} X$ ， $Y_{n} \overset{P}{⟶} Y$ ，则

若 $X_{n} \overset{P}{⟶} X$ 则 $X_{n} \overset{L}{⟶} X$ ，反之不一定成立。