数学期望

数学期望 $E (X)$

随机变量 $X$ 以概率为权的均值。

离散型随机变量数学期望: 离散型随机变量 $X$ 的数学期望定义为 $E (X) = \sum_{k} x_{k} \cdot P (X = x_{k})$
连续型随机变量数学期望: 连续型随机变量 $X$ 的数学期望定义为 $E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f_{X} (x) d x$

随机变量函数的数学期望

设 $Y = g (X)$ 是随机变量 $X$ 的连续函数。

E (Y) = E [g (X)] = \sum_{k} g (x_{k}) \cdot P (X = x_{k})

E (Y) = E [g (X)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x) f_{X} (x) d x

设 $Z = g (X, Y)$ 是二维随机变量 $(X, Y)$ 的连续函数。

E (Z) = E [g (X, Y)] = \sum_{i} \sum_{j} g (x_{i}, y_{j}) \cdot P (X = x_{i}, Y = y_{j})

E (Z) = E [g (X, Y)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x, y) f (x, y) d x d y

设 $X, Y$ 为随机变量， $a, b$ 为常数。

性质 1：证

以连续型随机变量为例。

\begin{aligned} E (a X + b) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} (a x + b) f_{X} (x) d x \\ = a \int_{- \infty}^{+ \infty} x f_{X} (x) d x + b \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{X} (x) d x \\ = a E (X) + b \end{aligned}

性质 2：证

以连续型随机变量为例。

\begin{aligned} E (X + Y) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} (x + y) f (x, y) d x d y \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x, y) d x d y + \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} y f (x, y) d x d y \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f_{X} (x) d x + \int_{- \infty}^{+ \infty} y f_{Y} (y) d y \\ = E (X) + E (Y) \end{aligned}

性质 3：证

以连续型随机变量为例。

由 $X, Y$ 相互独立，有 $f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$ ，故

\begin{aligned} E (X Y) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x y f (x, y) d x d y \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f_{X} (x) d x \cdot \int_{- \infty}^{+ \infty} y f_{Y} (y) d y \\ = E (X) E (Y) \end{aligned}

性质 4：证

显然 $\forall t, E ((X - t Y)^{2}) \geq 0$ ，即

E (Y^{2}) t^{2} - 2 E (X Y) t + E (X^{2}) \geq 0

以上是关于 $t$ 的二次不等式，其判别式满足 $Δ \leq 0$ ，故

4 {[E (X Y)]}^{2} - 4 E (X^{2}) E (Y^{2}) \leq 0

∴ | E (X Y) | \leq \sqrt{E (X^{2}) E (Y^{2})}