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独立同分布中心极限定理

（林德伯格·列维中心极限定理）设 $\{X_n\}$ 独立同分布，且 $\mathbb{E}(X_i)=\mu ,\mathbb{V}(X_i)={\sigma }^2\ne 0$，则 $\sum _{i=1}^n{X}_i$ 依分布收敛于正态分布，即

$$\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{\mathit{L}}{⟶}U,U\sim N(n\mu ,n{\sigma }^2)$$

标准化形式：

$$\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\stackrel{\mathit{L}}{⟶}{U}^{\ast },U^{\ast }\sim N(0,1)$$

证

证明略。

根据独立同分布中心极限定理，当 $n$ 很大时，$\sum _{i=1}^n{X}_i$ 近似服从正态分布，即对任意 $x$ 有

$$P(\sum _{i=1}^n{X}_i\le x)\approx \mathrm{\Phi }\left(\frac{x-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\right)$$

二项分布中心极限定理

（棣莫弗·拉普拉斯中心极限定理）设 $\{X_n\}$ 相互独立，且 $X_n\sim B(n,p)$，则 $X_n$ 依分布收敛于正态分布，即

$$X_n\stackrel{\mathit{L}}{⟶}U,U\sim N(np,np(1-p))$$

标准化形式：

$$\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\stackrel{\mathit{L}}{⟶}{U}^{\ast },U^{\ast }\sim N(0,1)$$

证

设 $\{Y_n\}\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }B(1,p)$ 独立同分布，根据二项分布的可加性有 $\{X_n\}=\left\{\sum _{i=1}^n{Y}_i\right\}$。

由 $\mathbb{E}\left(\sum _{i=1}^n{Y}_i\right)=np,\mathbb{V}\left(\sum _{i=1}^n{Y}_i\right)=np(1-p)$，根据独立同分布中心极限定理有

$$X_n=\sum _{i=1}^n{Y}_i\stackrel{\mathit{L}}{⟶}U,U\sim N(np,np(1-p))$$

根据二项分布中心极限定理，当 $n$ 很大时，$X_n$ 近似服从正态分布，即对任意 $x$ 有

$$P(X_n\le x)\approx \mathrm{\Phi }\left(\frac{x-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$$