随机变量函数的分布

离散型随机变量函数的分布

对于离散型随机变量 $X$ ，设 $Y = g (X)$ ，则 $Y$ 的分布列为

P (Y = y_{k}) = \sum_{g (x_{i}) = y_{k}} P (X = x_{i})

对于连续型随机变量 $X$ ，设 $Y = g (X)$ ，且 $g$ 是严格单调且可导的函数，则 $Y$ 的分布函数和概率密度函数为

F_{Y} (y) = {\begin{cases} F_{X} (g^{- 1} (y)) & y \in ran g \land g ↑ \\ 1 - F_{X} (g^{- 1} (y)) & y \in ran g \land g ↓ \\ 0 & else \end{cases}

f_{Y} (y) = {\begin{cases} f_{X} (g^{- 1} (y)) | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) | & y \in ran g \\ 0 & else \end{cases}

证

钦定 $y \in ran g$ ，即 $y \in dom (g^{- 1})$ 。

当 $g ↑$ 时有 $g^{- 1} ↑$ ， $\frac{d}{d y} g^{- 1} (y) > 0$ ，故

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y) = P (x \leq g^{- 1} (y)) = F_{X} (g^{- 1} (y))

f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) |

当 $g ↓$ 时有 $g^{- 1} ↓$ ， $\frac{d}{d y} g^{- 1} (y) < 0$ ，故

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (g (X) \geq y) = P (x \geq g^{- 1} (y)) = 1 - F_{X} (g^{- 1} (y))

f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot (- 1) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) |