简介

拉格朗日插值是多项式插值的一种，即通过 $n+\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 个插值节点构造 $n$ 次插值多项式

$$P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$$$$P(x_i)=y_i,i=0,1,\cdots ,n$$

基本思想

构造「开关函数」

$${\ell }_k(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x=x_k\\ 0,& \text{else}\end{array}$$

再构造多项式

$$P(x)={\ell }_0(x)\cdot y_0+{\ell }_1(x)\cdot y_1+\cdots +{\ell }_n(x)\cdot y_n$$

当输入 $x_k$ 时，只有开关 ${\ell }_k(x_k)$ 是打开的（$=1$），其余开关都关闭（$=0$），故只有 $y_k$ 被选中成为 $P(x_k)$ 的值。即 $P$ 是一个 $n$ 次插值多项式。

拉格朗日插值

n 次插值基函数（插值基函数）${\ell }_k(x)$

基于上述的「开关函数」。

$${\ell }_k(x)=\prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}=\{\begin{array}{ll}1,& x=x_k\\ 0,& \text{else}\end{array}$$

若引入记号

$${\omega }_{n+1}(x)=\prod _{i=0}^n(x-x_i)$$

容易求得

$${\omega }_{n+1}^{\prime }(x)=\sum _{k=0}^n\prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}^n(x-x_i)$$

即对任意 $x_k$ 都有

$${\omega }_{n+1}^{\prime }(x_k)=\prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}^n(x_k-x_i)$$

于是插值基函数可记为

$${\ell }_k(x)=\frac{{\omega }_{n+1}(x)/(x-x_k)}{{\omega }_{n+1}^{\prime }(x_k)}$$

线性插值基函数 ${\ell }_k(x)$

$${\ell }_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1},{\ell }_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$$

二次插值基函数 ${\ell }_k(x)$

$${\ell }_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$$$${\ell }_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$$$${\ell }_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$

拉格朗日插值多项式 $L_n(x)$

$$L_n(x)=\sum _{k=0}^n{\ell }_k(x)\cdot f(x_k)$$

拉格朗日插值余项

设 $f^{(n)}(x)$ 在 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 上连续，$f^{(n+1)}(x)$ 在 $(a,\phantom{0}$$\phantom{0}b)$ 上存在，用拉格朗日插值多项式 $L_n(x)$ 在 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 上近似 $f(x)$ 产生的截断误差为

$$R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\cdot {\omega }_{n+1}(x),\xi \in (a,b)$$

其中 $\xi$ 是和 $x$ 有关的参数，${\omega }_{n+1}(x)$ 定义见 n 次插值基函数。

证

已知

$$R_n(x)=f(x)-L_n(x)$$

在 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 内任取 $\hat{x}\ne \phantom{0}$$\phantom{0}{x}_k,\phantom{0}$$\phantom{0}k=\phantom{0}$$\phantom{0}0,\phantom{0}$$\phantom{0}1,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}n$，构造辅助函数

$$\phi (t)=R_n(t)-\frac{R_n(\hat{x})}{{\omega }_{n+1}(\hat{x})}\cdot {\omega }_{n+1}(t)$$

注意到

• 对于 $k=\phantom{0}$$\phantom{0}0,\phantom{0}$$\phantom{0}1,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}n$，有 $R_n(x_k)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$，${\omega }_{n+1}(x_k)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$，故 $\phi (x_k)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$；
• $\phi (\hat{x})=\phantom{0}$$\phantom{0}{R}_n(\hat{x})-\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{R_n(\hat{x})}{{\omega }_{n+1}(\hat{x})}}\cdot {\omega }_{n+1}(\hat{x})=\phantom{0}$$\phantom{0}0$。

即 $\phi (t)$ 有共 $n+\phantom{0}$$\phantom{0}2$ 个互异零点 $\hat{x},\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_0,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_1,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_n$。

根据罗尔（Rolle）定理有

• ${\phi }^{\prime }(t)$ 在 $(a,\phantom{0}$$\phantom{0}b)$ 上有 $n+\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 个零点；
• ${\phi }^{″}(t)$ 在 $(a,\phantom{0}$$\phantom{0}b)$ 上有 $n$ 个零点；
• $\cdots$
• ${\phi }^{(n+1)}(t)$ 在 $(a,\phantom{0}$$\phantom{0}b)$ 上有 $1$ 个零点。

即存在 $\xi \in (a,\phantom{0}$$\phantom{0}b)$ 使得

$${\phi }^{(n+1)}(\xi )=R_n^{(n+1)}(\xi )-\frac{R_n(\hat{x})}{{\omega }_{n+1}(\hat{x})}\cdot {\omega }_{n+1}^{(n+1)}(\xi )=0$$

其中

$$R_n^{(n+1)}(\xi )=f^{(n+1)}(\xi )-L_n^{(n+1)}(\xi )=f^{(n+1)}(\xi )$$$${\omega }_{n+1}^{(n+1)}(\xi )=(n+1)!$$

故

$$f^{(n+1)}(\xi )-\frac{R_n(\hat{x})}{{\omega }_{n+1}(\hat{x})}\cdot (n+1)!=0$$$$R_n(\hat{x})=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\cdot {\omega }_{n+1}(\hat{x})$$

当取 $\hat{x}=\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_k,\phantom{0}$$\phantom{0}k=\phantom{0}$$\phantom{0}0,\phantom{0}$$\phantom{0}1,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}n$ 时，上式显然仍成立，即对任意 $x\in [a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 都有

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\cdot {\omega }_{n+1}(x),\xi \in (a,b)$$

插值余项 $R_n(x)$

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\cdot {\omega }_{n+1}(x),\xi \in (a,b)$$

线性插值余项 $R_1(x)$

$$R_1(x)=\frac{1}{2}{f}^{″}(\xi )(x-x_0)(x-x_1),\xi \in (x_0,x_1)$$

二次插值余项 $R_2(x)$

$$R_2(x)=\frac{1}{6}{f}^{‴}(\xi )(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2),\xi \in (x_0,x_2)$$

推论 1

设 $M_{n+1}=\phantom{0}$$\phantom{0}\underset{a<x<b}{max}|f^{(n+1)}(x)|$，则插值余项（也就是截断误差）$R_n(x)$ 的误差限可取

$$|R_n(x)|\le \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\cdot |{\omega }_{n+1}(x)|$$

推论 2

当 $f(x)$ 为次数 $\le n$ 的多项式时，$f^{(n+1)}(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$，故 $R_n(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$，即拉格朗日插值多项式对更低次数的多项式是精确的。

推论 3（基函数完备性）

$$\sum _{k=0}^n{\ell }_k(x)=1$$

证

构造常函数 $f(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}c$，对其应用 $n$ 次拉格朗日插值，有

$$L_n(x)=\sum _{k=0}^{n}f(x_k){\ell }_k(x)=\sum _{k=0}^{n}c\cdot {\ell }_k(x)$$

根据推论 2，该插值对于常函数是精确的，故

$$f(x)=L_n(x)$$$$c=\sum _{k=0}^{n}c\cdot {\ell }_k(x)$$$$\sum _{k=0}^n{\ell }_k(x)=1$$