数值积分的基本思想

对于积分

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

如果知道 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$，则由牛顿-莱布尼茨公式有

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$$

但是在工程领域和科研领域中，经常会发生：

1. $f(x)$ 没有解析式，只知道部分函数值；
2. $f(x)$ 的原函数不是初等函数；
3. $f(x)$ 解析式形式复杂，原函数求解困难。

于是诞生了一些积分的近似计算方法。

梯形公式

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$$

中矩形公式（矩形公式）

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$

机械求积公式

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx \sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$$

求积节点 $x_k$

有限个离散点。

求积系数（权）$A_k$

其值仅与积分区间和求积节点的选取有关，而与 $f(x)$ 的具体形式无关。

插值型积分公式

用插值多项式代替被积函数 $f(x)$ 进行积分。

根据多项式插值定理，同等次数的插值法是等效的。这里选取拉格朗日插值：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx {\int }_a^b{L}_n(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b\sum _{k=0}^{n}f(x_k){\ell }_k(x)\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^{n}f(x_k){\int }_a^b{\ell }_k(x)\mathrm{d}x$$

可见插值型积分公式是机械求积公式的一个实例，其求积系数定义为

$$A_k={\int }_a^b{\ell }_k(x)\mathrm{d}x$$

代数精度

代数精度（代数精确度）

若一个机械求积公式能够「精确地积分^[1]」任意 $m$ 次以内的多项式，而只能「近似地积分」$m+\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 次的多项式，则称其具有 $m$ 次的代数精度。

容易证明，一个机械求积公式具有 $m$ 次代数精度，当且仅当其对于 $f(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}1,\phantom{0}$$\phantom{0}x,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}^m$ 都能准确成立，且对于 $f(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{x}^{m+1}$ 不能准确成立，即

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{k=0}^n{A}_k=b-a}\\ {\displaystyle \sum _{k=0}^n{A}_{k}x=\frac{1}{2}(b^2-a^2)}\\ ⋮\\ {\displaystyle \sum _{k=0}^n{A}_k{x}^m=\frac{1}{m+1}(b^{m+1}-a^{m+1})}\\ {\displaystyle \sum _{k=0}^n{A}_k{x}^{m+1}\ne \frac{1}{m+2}(b^{m+2}-a^{m+2})}\end{array}$$

推论

形如 $\sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$ 的机械求积公式至少具有 $n$ 次代数精度 $⟺$ 该公式为插值型积分公式。

INFO

• 代数精度最小可以为 $0$，此时该求积公式没有任何用处。
• 梯形公式和矩形公式的代数精度都是 $1$。

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1. 精确地积分：将约等号「$\approx$」替换为等号「$=$」后，求积公式仍成立。 ↩︎