概率的公理

概率 $\mathbb{P}:\mathcal{F}\mapsto [0,\phantom{0}$$\phantom{0}1]$

从事件集 $\mathcal{F}$ 到实数区间 $[0,\phantom{0}$$\phantom{0}1]$ 的映射。

公理 1（非负有界性）

$0\le \mathbb{P}(A)\le 1$。

公理 2（规范性）

$\mathbb{P}(\mathrm{\Omega })=\phantom{0}$$\phantom{0}1$。

公理 3（可列可加性）

对于可列无穷多、互不相容的随机事件 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots \}$ 有$$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(A_i)$$

概率的性质

性质 1（零测性）

$\mathbb{P}(\varnothing )=\phantom{0}$$\phantom{0}0$。

性质 2（有限可加性）

对于一组互不相容的 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}$ 有

$$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i)$$

性质 3（补集公式）

$\mathbb{P}(A)=\phantom{0}$$\phantom{0}1-\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(\overline{A})$。

性质 4（减法公式）

$\mathbb{P}(A-\phantom{0}$$\phantom{0}B)=\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(A)-\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(AB)$。

推论 1

若 $B\subset A$ 则 $\mathbb{P}(A-\phantom{0}$$\phantom{0}B)=\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(A)-\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(B)$。

推论 2

若 $B\subset A$ 则 $\mathbb{P}(A)\ge \mathbb{P}(B)$。

性质 5（加法公式）

$\mathbb{P}(A\cup B)=\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(A)+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(B)-\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(AB)$。

推论（容斥原理）

对于任意一组事件 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}$，

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=& \sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i)-\sum _{i<j}\mathbb{P}(A_i{A}_j)+\sum _{i<j<k}\mathbb{P}(A_i{A}_j{A}_k)+\cdots \\ & +(-1{)}^{n-1}\mathbb{P}(A_1{A}_2\cdots A_n)\end{array}$$

性质 1：证

构造 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots \}$，其中 $\mathrm{\forall }i,\phantom{0}$$\phantom{0}{A}_i=\phantom{0}$$\phantom{0}\varnothing$。

根据公理 3（可列可加性）：

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(A_i)\\ \therefore \mathbb{P}(\varnothing )& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(\varnothing )\end{array}$$$$\therefore \mathbb{P}(\varnothing )=0$$

性质 2：证

构造 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots \}$，其中 $\mathrm{\forall }i>n,\phantom{0}$$\phantom{0}{A}_i=\phantom{0}$$\phantom{0}\varnothing$，且 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}$ 互不相容。

根据公理 3（可列可加性）和性质 1（零测性）：

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(A_i)\\ \therefore \mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)& =\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i)+\sum _{i=n+1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(\varnothing )\\ \therefore \mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)& =\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i)\end{array}$$

性质 3：证

由于 $A,\phantom{0}$$\phantom{0}\overline{A}$ 不相容，根据性质 2（有限可加性）和公理 2（规范性）：

$$\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(\overline{A})=\mathbb{P}(A\cup \overline{A})=\mathbb{P}(\mathrm{\Omega })=1$$$$\therefore \mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(\overline{A})$$

性质 4：证

由于 $A-\phantom{0}$$\phantom{0}B,\phantom{0}$$\phantom{0}AB$ 不相容，根据性质 2（有限可加性）：

$$\mathbb{P}(A-B)+\mathbb{P}(AB)=\mathbb{P}((A-B)\cup AB)=\mathbb{P}(A)$$$$\therefore \mathbb{P}(A-B)=\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(AB)$$

性质 5：证

根据性质 4（减法公式）：

$$\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(AB)=\mathbb{P}(A-B)+\mathbb{P}(B)$$

由于 $A-\phantom{0}$$\phantom{0}B,\phantom{0}$$\phantom{0}B$ 不相容，根据性质 2（有限可加性）：

$$\mathbb{P}(A-B)+\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}((A-B)\cup B)=\mathbb{P}(A\cup B)$$$$\therefore \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(AB)=\mathbb{P}(A\cup B)$$